隨機變量模型和隨機過(guo)程模型是研究(jiu)亞洲歐美色綜合一區二區在線:應力腐蝕概率的(de)常用(yong)模(mo)型(xing)，本章重點介紹(shao)隨(sui)機變量模(mo)型(xing)。

一、應力-強度干涉(she)模型

 1942年，Pugsley提出了采用應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)、強度(du)分(fen)(fen)(fen)布函數曲線的(de)(de)干涉(she)(she)區面積分(fen)(fen)(fen)析(xi)失效概率的(de)(de)方法(fa)，即(ji)應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)－強度(du)干涉(she)(she)模型(xing)(xing)，該模型(xing)(xing)在構(gou)件和(he)系統的(de)(de)可(ke)靠(kao)性分(fen)(fen)(fen)析(xi)中(zhong)得到了廣(guang)泛(fan)應(ying)(ying)(ying)用。目前，已成為(wei)分(fen)(fen)(fen)析(xi)構(gou)件和(he)系統失效概率的(de)(de)重要(yao)模型(xing)(xing)之(zhi)一。在結構(gou)可(ke)靠(kao)性分(fen)(fen)(fen)析(xi)中(zhong)，應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)－強度(du)（S-R)干涉(she)(she)模型(xing)(xing)應(ying)(ying)(ying)用最廣(guang)，模型(xing)(xing)中(zhong)的(de)(de)S和(he)R的(de)(de)含義不僅僅是力(li)(li)學分(fen)(fen)(fen)析(xi)中(zhong)的(de)(de)應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)和(he)強度(du)，二者具(ju)有更廣(guang)泛(fan)的(de)(de)范(fan)疇。對于一個系統而言，S指的(de)(de)是造(zao)成結構(gou)破壞的(de)(de)所有因素，即(ji)推(tui)動力(li)(li)；R代表了結構(gou)抵抗破壞的(de)(de)能力(li)(li)，即(ji)阻(zu)抗力(li)(li)。

  應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)斷裂是(shi)一種低應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力脆斷，是(shi)斷裂和(he)腐(fu)蝕(shi)(shi)兩種機理(li)(li)相互(hu)影(ying)響的(de)(de)結(jie)果。因(yin)此(ci)，當應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力還遠(yuan)低于(yu)斷裂應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力時就(jiu)能(neng)引(yin)起應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)裂紋的(de)(de)產生和(he)擴展。應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力作用降(jiang)低了材料的(de)(de)耐腐(fu)蝕(shi)(shi)性能(neng)，而(er)腐(fu)蝕(shi)(shi)降(jiang)低了材料的(de)(de)斷裂強度(du)，兩者是(shi)互(hu)相促進(jin)的(de)(de)。也就(jiu)是(shi)說，機械力和(he)化學力的(de)(de)協同作用導致(zhi)了裂紋的(de)(de)擴展，如果只有應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力或腐(fu)蝕(shi)(shi)單獨作用，是(shi)不會出現應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)斷裂的(de)(de)結(jie)果。應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)斷裂要經過(guo)一定的(de)(de)時間才能(neng)發生，這是(shi)因(yin)為能(neng)量積(ji)蓄(xu)到(dao)使(shi)材料破壞的(de)(de)程(cheng)度(du)是(shi)需要時間的(de)(de)，應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)是(shi)使(shi)材料強度(du)逐(zhu)漸退化的(de)(de)過(guo)程(cheng)，因(yin)此(ci)，我們可以(yi)采用耐久性損傷模型來描述應(ying)(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)失(shi)效的(de)(de)物理(li)(li)過(guo)程(cheng)。由S-R干涉(she)模型的(de)(de)理(li)(li)論可以(yi)寫(xie)出結(jie)構的(de)(de)極限狀態方程(cheng)

  因此，對于失(shi)(shi)效概(gai)率(lv)的(de)(de)研究就轉化為對強度和(he)(he)應力(li)由于概(gai)率(lv)分布干涉引起的(de)(de)狀態(tai)失(shi)(shi)效問(wen)題的(de)(de)研究。當(dang)fs(s)和(he)(he)fR(r)分別表示應力(li)和(he)(he)強度的(de)(de)概(gai)率(lv)密度函數(shu)時，圖中兩者重(zhong)疊部分面積反映了失(shi)(shi)效概(gai)率(lv)的(de)(de)大小，如圖6-1所示。

  假如最初應力(li)(li)(li)與強(qiang)度(du)是(shi)留(liu)有充分(fen)的(de)安(an)全余量(liang)的(de)，那么(me)經過一定時間后，隨著應力(li)(li)(li)分(fen)布與強(qiang)度(du)分(fen)布的(de)交(jiao)疊，就(jiu)有失(shi)效發生，這種情形可以說是(shi)耐久(jiu)模型的(de)典型例(li)子。根據應力(li)(li)(li)－強(qiang)度(du)干涉模型不但能夠(gou)求解應力(li)(li)(li)腐蝕失(shi)效概率，還可以分(fen)析(xi)應力(li)(li)(li)腐蝕不同階段的(de)概率情況(kuang)，如裂(lie)紋的(de)萌生概率、裂(lie)紋的(de)擴展概率等。

  當(dang)材料發生(sheng)腐(fu)蝕后，隨著時(shi)(shi)間(jian)(jian)的(de)(de)推移(yi)，材料抵抗(kang)破壞(huai)的(de)(de)能力降(jiang)(jiang)低(di)(di)(di)(di)，而腐(fu)蝕環(huan)境很可能變(bian)得更加苛(ke)刻。例(li)如應力腐(fu)蝕，隨著裂紋的(de)(de)擴展，材料強度(du)降(jiang)(jiang)低(di)(di)(di)(di)、裂紋尖(jian)端應力集中區(qu)域(yu)(yu)增大，局部存在侵蝕性(xing)離子(zi)的(de)(de)富集，使得廣(guang)義應力變(bian)大而強度(du)降(jiang)(jiang)低(di)(di)(di)(di)，此時(shi)(shi)S(t)和R(t)都(dou)是與(yu)時(shi)(shi)間(jian)(jian)有關的(de)(de)變(bian)量(liang)，很顯然，概率(lv)密度(du)函數也(ye)著時(shi)(shi)間(jian)(jian)的(de)(de)變(bian)化而變(bian)化。當(dang)強度(du)隨時(shi)(shi)間(jian)(jian)發生(sheng)衰退(tui)時(shi)(shi)，強度(du)和應力組成的(de)(de)干涉(she)區(qu)域(yu)(yu)隨時(shi)(shi)間(jian)(jian)變(bian)化會越來越大，這意味著產品可靠性(xing)在降(jiang)(jiang)低(di)(di)(di)(di)。

  大多數(shu)參數(shu)的不確定性與時間(jian)有(you)關。發生應力(li)腐(fu)蝕(shi)時，構件所受(shou)的廣義應力(li)一(yi)般是隨(sui)機過(guo)程，應力(li)稱(cheng)為時間(jian)的函數(shu)，強度為一(yi)固(gu)定的臨(lin)界值，如圖6-2所示(shi)，功能函數(shu)應表示(shi)為

二、應(ying)力腐蝕參數的概率分布估計

1. 變(bian)量分布類型確定

  采(cai)用S-R模型分(fen)(fen)(fen)析(xi)應力腐(fu)蝕(shi)失(shi)效概(gai)率(lv)時，第一(yi)步是確(que)定(ding)應力腐(fu)蝕(shi)的“推動力”，即S所包含的參(can)數(shu)，包括(kuo)溫度(du)、侵(qin)蝕(shi)性(xing)離子濃度(du)、pH值等(deng)(deng)，分(fen)(fen)(fen)析(xi)各參(can)數(shu)的分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)概(gai)型。在進(jin)行(xing)(xing)參(can)數(shu)的概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類型研究中，一(yi)般經過以下步驟：①. 假設隨(sui)機(ji)變量(liang)服(fu)從某一(yi)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)；②. 在假設分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)基礎(chu)上構建統計(ji)量(liang)；③. 根據統計(ji)量(liang)的分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)做出統計(ji)推斷，進(jin)行(xing)(xing)擬合檢驗(yan)；④. 選(xuan)擇最(zui)優(you)概(gai)型。常用的統計(ji)量(liang)包括(kuo)均值、標準(zhun)差、極差、變異系(xi)數(shu)、偏度(du)等(deng)(deng)。正態分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、威布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、指數(shu)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)以及(ji)Poisson分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)等(deng)(deng)都是應力腐(fu)蝕(shi)概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)析(xi)中經常用到(dao)的隨(sui)機(ji)變量(liang)的概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類型。

通常，直接計(ji)(ji)算概(gai)率(lv)的(de)(de)(de)密(mi)度(du)(du)函數難度(du)(du)非常大，常用的(de)(de)(de)處理方法是(shi)把概(gai)率(lv)密(mi)度(du)(du)估計(ji)(ji)轉(zhuan)化為(wei)參數估計(ji)(ji)問題。因(yin)此(ci)概(gai)率(lv)密(mi)度(du)(du)函數的(de)(de)(de)確(que)定是(shi)關(guan)鍵(jian)，正確(que)的(de)(de)(de)密(mi)度(du)(du)函數是(shi)獲得準確(que)估計(ji)(ji)值的(de)(de)(de)重要(yao)前(qian)提。

2. 參數的估(gu)計和假設檢(jian)驗

由于(yu)正(zheng)(zheng)態分(fen)布(bu)情況發生(sheng)的(de)比較多，因此(ci)，以正(zheng)(zheng)態分(fen)布(bu)為(wei)例(li)加以說明(ming)。參(can)數(shu)(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)的(de)思路是采用(yong)樣本統計(ji)量(liang)估(gu)(gu)(gu)計(ji)總(zong)體參(can)數(shu)(shu)。常用(yong)的(de)參(can)數(shu)(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)方法(fa)(fa)有(you)矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)法(fa)(fa)和最大(da)（極大(da)）似然(ran)法(fa)(fa)，除此(ci)之(zhi)外，還(huan)有(you)最小(xiao)二乘、貝葉斯估(gu)(gu)(gu)計(ji)等(deng)方法(fa)(fa)。矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)法(fa)(fa)不受變(bian)量(liang)分(fen)布(bu)的(de)影(ying)(ying)響，這也恰恰成(cheng)為(wei)該方法(fa)(fa)的(de)缺點(dian)，即變(bian)量(liang)的(de)分(fen)布(bu)信息不能被充分(fen)利用(yong)，一般具(ju)有(you)多個分(fen)析(xi)結果。與矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)法(fa)(fa)相(xiang)反，最大(da)似然(ran)法(fa)(fa)的(de)使用(yong)受已知(zhi)變(bian)量(liang)概型(xing)(xing)的(de)影(ying)(ying)響，必須(xu)在(zai)已知(zhi)概型(xing)(xing)的(de)前提下才能使用(yong)，而且假設的(de)概率模型(xing)(xing)正(zheng)(zheng)確性對(dui)參(can)數(shu)(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)結果影(ying)(ying)響很(hen)大(da)。最大(da)似然(ran)估(gu)(gu)(gu)計(ji)法(fa)(fa)具(ju)有(you)計(ji)算簡單(dan)、收斂型(xing)(xing)好等(deng)特點(dian)，在(zai)參(can)數(shu)(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)中的(de)應用(yong)更(geng)加廣泛，其主(zhu)要計(ji)算步驟如(ru)下：

  式（6-10)稱為似然(ran)方(fang)程組，求解該方(fang)程組，得出均值、方(fang)差最大似然(ran)估計值

  以上過程是(shi)參數(shu)估計(ji)，下面對參數(shu)假設檢(jian)驗(yan)。與參數(shu)估計(ji)的目的相(xiang)同，參數(shu)假設檢(jian)驗(yan)也是(shi)根據樣本信息對總體的數(shu)量特征(zheng)進行推斷。

  假(jia)(jia)設(she)(she)檢(jian)(jian)驗(yan)是以(yi)樣本(ben)(ben)資料對總(zong)體的(de)先驗(yan)假(jia)(jia)設(she)(she)是否(fou)成立，根據樣本(ben)(ben)的(de)統計(ji)量檢(jian)(jian)驗(yan)假(jia)(jia)設(she)(she)的(de)總(zong)體參數的(de)可(ke)靠度(du)，同時做出判斷結果，判斷結果包(bao)括接受和拒絕。分析過程是：①. 提出原(yuan)假(jia)(jia)設(she)(she)（要求檢(jian)(jian)驗(yan)的(de)假(jia)(jia)設(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)(jia)設(she)(she)（如果原(yuan)假(jia)(jia)設(she)(she)不成立，就要接受另一個假(jia)(jia)設(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰(qia)當的(de)檢(jian)(jian)驗(yan)統計(ji)量；③. 計(ji)算觀(guan)測值；④. 確(que)定顯著性水平；⑤. 依(yi)據檢(jian)(jian)驗(yan)統計(ji)量觀(guan)測值的(de)位(wei)置(zhi)給出判斷結果。

在以上分析過(guo)程中，可(ke)能(neng)會(hui)犯(fan)兩(liang)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)：當(dang)H0為(wei)真時而拒絕H0,稱(cheng)為(wei)第一(yi)(yi)(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)；當(dang)H0為(wei)假時而接受H0,稱(cheng)為(wei)第二類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)。犯(fan)兩(liang)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)的(de)概率(lv)(lv)通常是矛盾的(de)：一(yi)(yi)(yi)個(ge)概率(lv)(lv)小了另(ling)一(yi)(yi)(yi)個(ge)概率(lv)(lv)就(jiu)大。在實(shi)際使用中，我們一(yi)(yi)(yi)般(ban)限(xian)定犯(fan)第一(yi)(yi)(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)的(de)概率(lv)(lv)不超過(guo)給定的(de)α,使犯(fan)第二類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)的(de)概率(lv)(lv)就(jiu)可(ke)能(neng)小。在正態(tai)總體(ti)參數的(de)假設(she)檢(jian)驗中，主要包括均值的(de)U檢(jian)驗和t檢(jian)驗、方差的(de)χ2檢(jian)驗等。

3. 分布的假設(she)檢驗

  上一(yi)(yi)小節介紹的是(shi)(shi)在總(zong)體(ti)(ti)分布(bu)已知(zhi)(zhi)的情況下，對分布(bu)中的一(yi)(yi)些(xie)未知(zhi)(zhi)參數進(jin)行檢(jian)驗(yan)(yan)。但是(shi)(shi)，很(hen)多(duo)時候并(bing)不(bu)知(zhi)(zhi)道(dao)總(zong)體(ti)(ti)的分布(bu)規律(lv)，我們往往是(shi)(shi)根據(ju)樣(yang)本來假(jia)設總(zong)體(ti)(ti)的分布(bu)類型，因此(ci)，對于總(zong)體(ti)(ti)樣(yang)本所假(jia)設的分布(bu)是(shi)(shi)否正確，還需要檢(jian)驗(yan)(yan)，常用的有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)驗(yan)(yan)方法，其中χ2檢(jian)驗(yan)(yan)應用較多(duo)，下面以(yi)這(zhe)種方法為例，介紹檢(jian)驗(yan)(yan)過(guo)程(cheng)。

  χ2檢驗法的(de)分(fen)析過程是：①. 提出原假(jia)設；②. 檢驗假(jia)設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個(ge)互不(bu)相交(jiao)的(de)小區間把樣本(ben)數據進行分(fen)組，通(tong)(tong)常每個(ge)區間的(de)數據不(bu)少于5個(ge)，若不(bu)滿足(zu)這一要求(qiu)，可以(yi)通(tong)(tong)過合并區間來(lai)達到這一要求(qiu)。假(jia)設H0成立(li)，根據分(fen)組結(jie)果計算χ2檢驗統計量

4. 主要參數的概率分(fen)布(bu)

 根據以上(shang)分析步(bu)驟(zou)，對應力腐蝕環境中的(de)離子濃(nong)度的(de)統計性進(jin)行(xing)分析。數據來(lai)自(zi)某石化企業的(de)監(jian)測(ce)數據。頻率直(zhi)方(fang)圖要將樣本(ben)值分為(wei)r個(ge)不相(xiang)交的(de)區間，r值可由(you) Sturges公式確定(ding)，并(bing)取(qu)整(zheng)數。r值取(qu)決(jue)于樣本(ben)數n。

  首(shou)先，假(jia)設各參數(shu)服從正態分布，并畫出正態分布的密度函數(shu)曲線(xian)，該計算(suan)采用matlab編(bian)程完成(cheng)，計算(suan)結(jie)果如圖6-3所示。

  從圖(tu)6-3可以看出，pH、氯離(li)子(zi)濃(nong)度(du)(du)和硫酸根(gen)離(li)子(zi)濃(nong)度(du)(du)滿足正態(tai)分(fen)布(bu)(bu)，而亞硫酸根(gen)離(li)子(zi)濃(nong)度(du)(du)不(bu)滿足正態(tai)分(fen)布(bu)(bu)，經過分(fen)析(xi)，認為滿足威布(bu)(bu)爾分(fen)布(bu)(bu)，如(ru)圖(tu)6-4所示。

  經過卡方檢(jian)驗(yan)，在顯(xian)著(zhu)性水平0.05下，可以(yi)認為：

  溫度(du)服從N(98.25,1.642);

  pH服從(cong)N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服(fu)從(cong)N(143.5204,9.48592);

  氯離(li)子濃(nong)度服從N(35.3481,17.57352);

  亞(ya)硫酸(suan)根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布(bu)爾分布(bu)。

  亞(ya)硫酸根離子濃度服從(cong)威(wei)布爾分布的原(yuan)因：亞(ya)硫酸根不穩定(ding)，與氫離子反應，從(cong)而濃度逐(zhu)漸減小(xiao)。

三、失效(xiao)概率計算方法

1. 解(jie)析法

  當應力(li)和強度(du)是比較(jiao)簡單的(de)變量(liang)時(shi)，式（6-4)可(ke)(ke)以直(zhi)接(jie)計(ji)算失效概率(lv)。在一些研究中(zhong)，會出現“干涉面積(ji)＝失效概率(lv)”的(de)說法，這種說法是不正確的(de)。根據可(ke)(ke)靠(kao)性理論可(ke)(ke)知，應力(li)－強度(du)模型中(zhong)強度(du)大于應力(li)的(de)概率(lv)即為可(ke)(ke)靠(kao)度(du)。可(ke)(ke)靠(kao)度(du)P可(ke)(ke)根據下式計(ji)算

  從計算結果可以看出，失效概率遠小于干涉面(mian)積之和。

2. 數值(zhi)解析法(fa)

  當隨機變(bian)量較(jiao)(jiao)多時，直接求(qiu)解(jie)(jie)(jie)失(shi)效概率值是(shi)很困難的(de)(de)，采用(yong)(yong)數(shu)(shu)值求(qiu)解(jie)(jie)(jie)是(shi)一種比較(jiao)(jiao)好的(de)(de)解(jie)(jie)(jie)決(jue)方法。在應力腐蝕概率計算(suan)中(zhong)，涉及(ji)的(de)(de)隨機變(bian)量較(jiao)(jiao)多且具有不(bu)(bu)同的(de)(de)分布類型，結果難以(yi)用(yong)(yong)解(jie)(jie)(jie)析(xi)法和(he)近似法求(qiu)解(jie)(jie)(jie)，可(ke)以(yi)采用(yong)(yong)蒙特(te)卡洛（Monte-Carlo)模擬法。Monte-Carlo模擬法的(de)(de)特(te)點(dian)是(shi)：①. 受研(yan)究問(wen)題(ti)維數(shu)(shu)的(de)(de)影響(xiang)較(jiao)(jiao)小(xiao)；②. 不(bu)(bu)受假設約束；③. 不(bu)(bu)存在狀態空間爆炸問(wen)題(ti)；④. 不(bu)(bu)受變(bian)量數(shu)(shu)量的(de)(de)影響(xiang)。因(yin)此，Monte-Carlo法是(shi)一種處理高(gao)維動態失(shi)效概率問(wen)題(ti)的(de)(de)方法。

  蒙特(te)卡洛模(mo)擬法又稱為(wei)隨機模(mo)擬法，基本思(si)想(xiang)是：